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教学目的：
1 掌握平面向量数量积运算规律；
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠ａｏｂ＝θ（０≤θ≤π）叫 与 的夹角
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos?叫 与 的数量积，记作 ? ，即有 ? = | || |cos?，
（０≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
3．“投影”的概念：作图
定义：| |cos?叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 | |；当? = 180?时投影为 ?| |
4．向量的数量积的几何意义：
数量积 ? 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos?的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1? ? = ? =| |cos?；2? ? ? ? = 0
3?当 与 同向时， ? = | || |；当 与 反向时， ? = ?| || |
特别的 ? = | |2或
4?cos? = ；5?| ? | ≤ | || |
6．判断下列各题正确与否：
1?若 = ，则对任一向量 ，有 ? = 0 ( √ )
2?若 ? ，则对任一非零向量 ，有 ? ? 0 ( × )
3?若 ? ， ? = 0，则 = ( × )
4?若 ? = 0，则 、 至少有一个为零 ( × )
5?若 ? ， ? = ? ，则 = ( × )共4页，当前第1页1234平面向量的数量积及运算律（2）
6?若 ? = ? ，则 = 当且仅当 ? 时成立 ( × )
7?对任意向量 、 、 ，有( ? )? ? ?( ? ) ( × )
8?对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律： ? = ?
证：设 ， 夹角为?，则 ? = | || |cos?， ? = | || |cos?
∴ ? = ?
2．数乘结合律：( )? = ( ? ) = ?( )
证：若 > 0，( )? = | || |cos?， ( ? ) = | || |cos?， ?( ) = | || |cos?，
若 共4页，当前第2页1234平面向量的数量积及运算律（2）
两式相减：2 ? = 2
代入①或②得： 2 = 2
设 、 的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 ? ＝ ? ＝ ? ＝ ? ，试问四边形abcd是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )２＝（ ＋ ）２
即｜ ｜２＋２ ? ＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋２ ? ＋｜ ｜２
由于 ? ＝ ? ，
∴｜ ｜２＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋｜ ｜２①
同理有｜ ｜２＋｜ ｜２＝｜ ｜２＋｜ ｜２②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 ? ＝ ? ，有 （ － ）＝０，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 ?(2 )＝０
即 ? ＝０，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（ ）
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d ? 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为６０°，则( +2 )?( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )２＝
5 已知| |=2,| |=5, ? =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝
参考答案：1 c 2 b 3 b 4 ２ ５ －１+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）共4页，当前第3页1234平面向量的数量积及运算律（2）
a 60° b 30° c 135° d ４５°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为（）
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |?| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 ? =
6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )２＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 ? ;(2)若 、 的夹角为６０°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )２＝ ２＋２ ? ＋ ２，（ － ）２＝ ２－２ ? ＋ ２
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ ２－ ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝２，｜ ｜＝５， ? ＝－３，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜２＝（ ＋ ）２＝ ２＋２ ? ＋ ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）２＝（ － ）２＝ ２－2 ? ＋ ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜ － ｜＝ ．
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到１°)
解：∵（｜ ＋ ｜）２＝（ ＋ ）２＝ ２＋2 ? ＋ ２＝｜ ｜２＋2｜ ｜?｜ ｜ｃｏｓθ＋｜ ｜２
∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝ ，∴θ≈５５°
共4页，当前第4页1234平面向量的数量积及运算律（2） |
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发表于 2021-1-22 19:22:19
