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课 题：不等式的性质（2）
教学目的：
1 理解同向不等式，异向不等式概念；
2 理解不等式的性质定理1—3及其证明；
3 理解证明不等式的逻辑推理方法．
4 通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件
教学难点：1 理解定理1、定理2的证明，即“a＞b b＜a和a＞b，b＞c a＞c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则
2 定理3的推论，即“a＞b，c＞d a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:
引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用
教学过程：
一、复习引入：
1．判断两个实数大小的充要条件是：
2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?
(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?
从而引出不等式的性质及其证明方法．
二、讲解新课：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 例如：a>b，c
2．不等式的性质：
定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)
即：a>b bb
证明：∵a>b ∴a-b>0
由正数的相反数是负数，得-(a-b)
即b-a
点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若a>b，则 和 谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．
定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c a>c
证明：∵a>b，b>c ∴a-b>0， b-c>0
根据两个正数的和仍是正数，得
(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0
∴a>c
根据定理l，定理2还可以表示为：c
点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．
定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>b a+c>b+c
证明：∵a>b， ∴a-b>0，
∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c
点评：(1)定理3的逆命题也成立；
(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d a+c>b+d．
证法一：
a+c>b+d
证法二：
a+c>b+d共3页，当前第1页123不等式的性质（2）
点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；
三、讲解范例：
例 已知a>b，cb-d．(相减法则)
分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的
证法一：∵a＞b，c＜d
∵a－b＞0，d－c＞0
∴（a－c）－（b－d）
＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数)
故a－c＞b－d
思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的
证法二：∵c＜d ∴－c＞－d
又∵a＞b
∴a＋（－c）＞b＋（－d）
∴a－c＞b－d
四、课堂练习：
1 判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；
(2)如果a＞b，那么 ＞
分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真
答案：(1)真 因为推理符号定理3
(2)假 由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时， ＜ 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负
2 回答下列问题：
（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明；
(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明
答案：(1)不能断定 例如：2＞1，1＜3 2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0 ８ 2－1＞1－0 ８ 异向不等式作加法没定论
(2)不能断定 例如a＞b，c＝1＞d＝－1 a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定 a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3 而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3
3 求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；
(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b
证明：(1)
(2)a＞b －2a＜－2b c－2a＜c－2b
4 已和a＞b＞c＞d＞0，且 ，求证：a＋d＞b＋c
证明：∵
∴
∴（a－b）d＝（c－d）b
又∵a＞b＞c＞d＞0
∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且 ＞1
∴ ＞1
∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c
评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速 这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧
五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞b b＜a＝、传递性(a＞b，b＞c a＞c)、可加性(a＞b a＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞d a＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
六、课后作业：
1．如果 ，求不等式 同时成立的条件．
解：
2．已知 ， 求证：
证：∵ ∴
又∵ ∴ >0 ∴
∵ 且
∴
3．已知 比较 与 的大小．
解： -
当 时∵ 即
∴ ∴
当 时∵ 即 共3页，当前第2页123不等式的性质（2）
∴ ∴ >
4．如果 求证：
证： ∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
七、板书设计（略）
八、课后记：
共3页，当前第3页123不等式的性质（2） |
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发表于 2021-1-22 19:20:56
