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教学目标：
1、 能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、 理解函数的零点与方程的联系。
3、 渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：
1、 重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、 难点：函数零点存在的条件。
教学过程：
1、 问题引入
探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程
方程的根
二次函数
图像与x轴的交点
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
（-1，0），（3，0）
x2-2x+1=0
x1= x2=1
y=x2-2x+1
（1，0）
x2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像
（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像
归纳：
（1） 如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；
（2） 如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；
二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
2、 函数的零点
（1） 概念
对于函数y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈d)的零点。
（2） 意义
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
（3） 求函数的零点
① 代数法：求方程f(x)=0的实数根
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
3、 函数零点的存在性
（1） 二次函数的零点
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的实数根
y=ax2+bx+c的零点数
△﹥0
有两个不等的实数根x1、x2
两个零点x1、 x2
△=0
有两个相等的实数根x1= x2
一个零点x1（或x2）共2页，当前第1页123.1.1方程的根与函数的零点 公开课教案
△﹤0
没有实数根
没有零点
（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像
（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像
（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像
（2） 探究发现
问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？
解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5
f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4
f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0
问题2：在区间[2,4]呢？
解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3
f(4)=42-2*4-3=5
f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0
归纳：
f(2)* f(1)﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4)﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。
结论：
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。
① 图像在 上的图像是连续不断的
②
③ 函数 在区间 内至少有一个零点
4、 习题演练
利用函数图像判断下列二次函数有几个零点
① y=－x2＋3x＋5 ， ②y=2x(x－2)+3
解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,
做出函数f(x)的图像，如下
（图4-1）
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。
②y=2x(x－2)+3可化为
做出函数f(x)的图像,如下：
（图4-2）
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。
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发表于 2021-1-22 19:20:50
