【原】“首”“尾”分拆详解平面向量，2020年新全国卷I平面向量题

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题型主要对象：2020年新全国1卷平面向量题
题型展示目的：平面向量在线性分析上，经常是许多同学们的“软肋”，因为平面向量的线性规则，有且只有“一道”公式，真正的“以一敌百”的公式，但公式越少，同学们越容易走弯路，这点是高中学习中的“必然”现象，希望通过这道题目的分析，让同学们更加好的掌握平面向量的线性运算问题。
我们也提供一题多解的模式，让同学们可以了解知识的连接。

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2020年的平面向量，位置是第7题，从题意上阅题，同学们会发现，该题目考查内容为正六边形与平面向量的结合内容，而且要分析相应的范围情况，在知识难度上是比较高的，所以我们先通知知识结构的复习，然后带领同学们顺利完成该题目。

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通过简单概念分析，我们大致可以了解平面向量的线性运算公式，即首尾相连，
“首”为起点，“中间”为连接对象，“尾”为终点，类比我们从一个地方出发到目的的方式，可以有多种路径进行行走的过程。
又由于平面向量具有平移性，可以形成相应的平行四边形，可以形成另外一组公式，但对于我们该题目没有多大影响，所以简单距离即可。
这里同学们详细理解好“首”“尾”自身定义思路，这点在解题上非常重要，也是许多同学们在分析掌握上容易走“歪”的误区。

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这里是平面向量数量积的概念，也是我们这道题目所需要的，因为正六边形角度具备特殊性，所以涉及角度问题，必然与数量积概念相互对应，这点也是在我们解题过程中，需要密切注意的。

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注意：因为题目涉及为正六边形，其相应的夹角也给出特殊，所以标注向量方向时，通过延长线可以更加明确夹角的具体度数。
方法一：分步讨论，逆时针讨论，

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方法二：分步讨论，逆顺时针同时讨论，

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总结：逆顺时针同时明显比逆时针解法上简单，但其实两者两者在利用线性运算具备同理模式，最主要抓住正六边形里面每个角度均为120度进行，结合平面向量的夹角和相应数量积运算得对相应结果。
这里将点P的位置分步在六段不同的边上，可以促使向量的夹角变得明确，只由相应的线段长度来决定相应的范围问题，这样可以由2个变量缩小为1个变量，主要“首”“尾”清晰书写。
方法三：建立直角坐标系分析，利用线性规划分析，

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方法四：利用投影定义分析，

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总结：
利用坐标系，利用“线性规划”完成，同学们会发现解法异常的简单，因为坐标系法时，两个向量积的结果恰好是含有x、y两个未知数，利用线性规划的特性进行分析，转为直线，比较斜率，因为点P的活动区域是有限的，在正六边形上移动，找准端点即可进行分析。
利用AB作为底边分析，利用投影也是异常简单的方法。
该题具有多种解法，但最主要的是掌握正六边由六个正三角形组成的特点，注意夹角间的问题，可利用平面向量线性运算结合数量积进行转换分析，也可以建立直角坐标系，利用线性规划进行解答。
解法虽有不同，但在解答上都按照了各自的公式对象，快、慢问题有时值得思考，但知识点的扎实也是我们在学习上一个非常重要的环节。
希望通过多种解题方式，让同学们可以掌握更多的知识点串联方式，学会以一敌百。